Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為2，點D是射線BC上的一個動點，以AD為邊向右作等邊△ADE，連結CE，

（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）若CE＝，求△ACD的面積；

（3）若△ACE是直角三角形，則BD的長是　 　（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S△ACD＝；（3）1或4．

【解析】

（1）構建兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等即可證明．
（2）如圖2中，作AM⊥BC于M．由（1）可知BD=CE=，求出CD、AM即可解決問題．
（3）分兩種情形①如圖3中，當∠AEC=90°時，②如圖4中，當∠CAE=90°時，分別求解即可．

（1）證明：如圖1中，

∵△ABC，△ADE是等邊三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE．

（2）解：如圖2中，作AM⊥BC于M．

∵△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE＝，∵AB＝BC＝2，

∴CD＝BC﹣BD＝，

在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠BAM＝30°，AB＝2，

∴AM＝ABcos30＝，

∴S△ACD＝CDAM＝××＝．

（3）解：如圖3中，當∠AEC＝90°時，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠B＝∠ACE＝60°，

∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝30°，

∴EC＝BD＝AC＝1．

如圖4中，當∠CAE＝90°時，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠B＝∠ACE＝60BD＝CE，

∴∠CEA＝90°﹣∠ACE＝30°，

∴EC＝2AC＝4，

∴BD＝CE＝4．

綜上所述，BD＝1或4時，△ACE是直角三角形．