Question

【題目】如圖，拋物線與直線相交于兩點，且拋物線經過點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是拋物線上的一個動點（不與點、點重合），過點作直線軸于點，交直線于點.

①當時，求點坐標；

② 是否存在點使為等腰三角形，若存在請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）①P點坐標為（2，9）或（6，﹣7）；②（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．

【解析】

試題分析：（1）由直線解析式可求得B點坐標，由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）①可設出P點坐標，則可表示出E、D的坐標，從而可表示出PE和ED的長，由條件可知到關于P點坐標的方程，則可求得P點坐標；

②由E、B、C三點坐標可表示出BE、CE和BC的長，由等腰三角形的性質可得到關于E點坐標的方程，可求得E點坐標，則可求得P點坐標．

試題解析：（1）∵點B（4，m）在直線y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三點坐標代入拋物線解析式可得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）①設P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），

則PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

當﹣x2+3x+4=2（x+1）時，解得x=﹣1或x=2，但當x=﹣1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（2，9）；

當﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）時，解得x=﹣1或x=6，但當x=﹣1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（6，﹣7）；

綜上可知P點坐標為（2，9）或（6，﹣7）；

②設P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE=|x﹣4|，CE=，BC=，

當△BEC為等腰三角形時，則有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，

當BE=CE時，則|x﹣4|=，解得x=，此時P點坐標為（，）；

當BE=BC時，則|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此時P點坐標為（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；

當CE=BC時，則=，解得x=0或x=4，當x=4時E點與B點重合，不合題意，舍去，此時P點坐標為（0，5）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．