Question

【題目】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB中點，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點C作AB的平行線，交DF的延長線于點E，連接CD，AE．

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）當∠BAC的大小滿足什么條件時，四邊形AECD是正方形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當∠BAC=45°時，四邊形AECD是正方形；理由見解析

【解析】

試題分析：（1）由ASA證明△CEF≌△ADF，得出對應邊相等EF=DF，證出四邊形AECD是平行四邊形，再由對角線互相垂直，即可得出四邊形AECD是菱形；

（2）由菱形的性質得出∠EAC=∠BAC=45°，得出∠EAD=90°，即可得出四邊形AECD是正方形．

（1）證明：∵∠ACB=90°，DF⊥AC，

∴DF∥BC，∵點D是AB中點，

∴F是AC的中點，

∴AF=CF，

∵CE∥AB，

∴∠ECF=∠DAF，

在△CEF和△ADF中，

，

∴△CEF≌△ADF（ASA），

∴EF=DF，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

又∵DF⊥AC，

∴四邊形AECD是菱形；

（2）解：當∠BAC=45°時，四邊形AECD是正方形；理由如下：

∵四邊形AECD是菱形，

∴∠EAC=∠BAC=45°，

∴∠EAD=90°，

∴四邊形AECD是正方形．