Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣經過點A（﹣2，），與x軸相交于B，C兩點，且B點坐標為（﹣1，0）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，若點C′恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C′和點D的坐標；

（3）拋物線與y軸交于點Q，連接BQ，DQ，在拋物線上有一個動點P，且S△PBD＝S△BDQ，求滿足條件的點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

（1）利用待定系數法可求解析式；

（2）設對稱軸于BC的交點為E，先求出點C，點E坐標，可求BC=4，BE=CE=2，由折疊的性質可得BC'的長，由勾股定理可求C'E，DE的長，即可求解；

（3）分兩種情況討論，利用等底等高的兩個三角形的面積相等，可求解．

（1）將A（﹣2，），B（-1，0）代入y＝ax2+bx﹣中，

可得，

∴，

∴；

（2）如圖，設對稱軸于BC的交點為E，

∵與x軸交于A，B兩點，

∴；

∴x1=-1，x2=3，

∴點C（3，0），

∴對稱軸為直線x=1，

∴BE=CE=2，BC=4，

∵點D在拋物線的對稱軸上，

∴BD=CD，

∵將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，

∴BC=BC'=4，CD=C'D，

∴BD=C'D，

∴，

∴

∵BD2=DE2+BE2，

∴，

∴，

∴點；

（3）如圖，設BD交y軸于點F，

∵點B（-1，0），點，

∴直線BD解析式為：，

∴點，

∵拋物線的解析式為：與y軸交于點Q，

∴點，

∴，

若點Q，點P在BD的同側時，

∵S△PBD=S△BDQ，

∴點P與點Q到直線BD的距離相等，即PQ∥BD，

∴直線PQ解析式為：，

∴，

∴x=0，，

∴點P的橫坐標為；

若點P與點Q在BD的兩側時，

∵S△PBD=S△BDQ，

∴點P與點Q到直線BD的距離相等，

∵點，點，

∴，

在y軸上截取HF=FQ，過點H作BD的平行線交拋物線于點P'和P'，

∴，

∴點H坐標，

∴直線HP'解析式為：，

∴，

∴，

綜上所述：當點P的橫坐標為或或時，S△PBD=S△BDQ．