Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．

（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數表達式；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；
（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，解得x1=﹣1或x2=3

∴A（﹣1，0）B（3，0）

將C點的橫坐標x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3

∴C（2，﹣3）

∴直線AC的函數解析式是y=﹣x﹣1

（2）

解：設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2）

則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1）

E（x，x2﹣2x﹣3）

∵P點在E點的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴當 時，PE的最大值=

（3）

解：存在4個這樣的點F，分別是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+ ，0），F4（4﹣ ，0）．

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標是（﹣3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標為（﹣1，0），因此F點的坐標為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點的縱坐標互為相反數，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為（1+ ，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設直線GF的解析式為y=﹣x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=﹣x+4+ ．因此直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+ ，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標為（4﹣ ，0）．

綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點

【解析】（1）因為拋物線與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標．再根據C點在拋物線上，C點的橫坐標為2，代入拋物線中即可得出C點的坐標．再根據兩點式方程即可解出AC的函數表達式；（2）根據P點在AC上可設出P點的坐標．E點坐標可根據已知的拋物線求得．因為PE都在垂直于x軸的直線上，所以兩點之間的距離為yp﹣yE ， 列出方程后結合二次函數的性質即可得出答案；（3）存在四個這樣的點．
①連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標是（﹣3，0）；
②AF=CG=2，A點的坐標為（﹣1，0），因此F點的坐標為（1，0）；
③此時C，G兩點的縱坐標關于x軸對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為（1+ ，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設直線GF的解析式為y=﹣x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=﹣x+7．因此直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+ ，0）；
④如圖，同③可求出F的坐標為（4﹣ ，0）；
綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．