Question

【題目】如圖，在中，點是邊上的一個動點，過點作直線，設交的角平分線于點，交的外角平分線于點．

（1）求證：；

（2）當點運動到何處時，四邊形是矩形？并證明你的結論．

（3）當點運動到何處，且滿足什么條件時，四邊形是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當點運動到的中點時，四邊形是矩形，理由詳見解析；（3）當點運動到的中點時，且滿足為直角的直角三角形時，四邊形是正方形，理由詳見解析．

【解析】

（1）由平行線的性質和角平分線的定義得出，， 得出，，即可得出結論；

（2）先證明四邊形是平行四邊形，再由對角線相等，即可得出結論；

（3）由正方形的性質得出，得出即可．

（1），

，

又平分，

，

，

，

同理：，

．

（2）當點運動到的中點時，四邊形是矩形．

當點運動到的中點時，，

又，

四邊形是平行四邊形，

由（1）可知，，

，

，即，

四邊形是矩形．

（3）當點運動到的中點時，且滿足為直角的直角三角形時，四邊形是正方形．

由（2）知，當點運動到的中點時，四邊形是矩形，

，

，

，

，

四邊形是正方形．