Question

【題目】拋物線的對稱軸為直線，該拋物線與軸的兩個交點分別為和，與軸的交點為，其中．

（1）寫出點的坐標________；

（2）若拋物線上存在一點，使得的面積是的面積的倍，求點的坐標；

（3）點是線段上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，求線段長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為或；（3）MD長度的最大值為．

【解析】

（1）拋物線的對稱軸為x=1，點A坐標為（-1，0），則點B（3，0），即可求解；
（2）由S△POC=2S△BOC，則x=±2OB=6，即可求解；
（3）設：點M坐標為（x，x-3），則點D坐標為（x，x2-2x-3），則MD=x-3-x2+2x+3，即可求解．

解：（1）拋物線的對稱軸為，點坐標為，則點，

故：答案為；

（2）二次函數表達式為：，

即：，解得：，

故拋物線的表達式為：，

所以

由題意得：，

設P（x, ）

則

所以則，

所以當時，=-21，當時，=45

故點的坐標為或；

（3）如圖所示，

將點坐標代入一次函數得表達式得

，解得：，

故直線的表達式為：

，

設：點坐標為，則點坐標為，

則，

故MN長度的最大值為．