Question

【題目】如圖，已知E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F。

（1）求證：△ABE≌△FCE；

（2）連接AC、BF，若AE＝BC，求證：四邊形ABFC為矩形；

（3）在（2）條件下，當△ABC再滿足一個什么條件時，四邊形ABFC為正方形。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當AB＝AC時，矩形ABFC為正方形.

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質可得到AB∥CD，從而可得到AB∥DF，根據平行線的性質可得到兩組角相等，已知點E是BC的中點，從而可根據AAS來判定△BAE≌△CFE；

（2）根據全等三角形的對應邊相等可證得AB=CF．再根據已知可得BC=AF，從而得證；

（3）矩形ABFC要想成為正方形，只只需要一組鄰邊相等即可，由此可添另條件AB=AC.

試題解析：（1）在 ABCD中，AB∥CD ,AB＝CD，∴ ∠BAE＝∠EFC，

∵ E為BC的中點 ，∴ BE＝EC，

∵ ∠AEB＝∠FEC，∴ △ABE≌△FCE；

（2）由（1）知AB∥CD ， 即 AB∥CF，

∵△ABE≌△FCE ，∴ AB＝FC，

∴ 四邊形ABFC為平行四邊形 ，∴ AE＝EF＝AF，

∵ AE＝BC ， ∴ BC＝AF ， ∴ABFC是矩形；

（3）當△ABC為等腰三角形時，即 AB＝AC時，矩形ABFC為正方形.