Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點P由B點出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點Q由A點出發沿AB方向向點B勻速運動，它們的速度均為1cm/s，當P點到達C點時，兩點同時停止運動，連接PQ，設運動時間為t s，解答下列問題：

（1）當t為何值時，P，Q兩點同時停止運動？

（2）設△PQB的面積為S，當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值；

（3）當△PQB為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)、5；(2)、；(3)、t=s，s或t=4s

【解析】試題分析：(1)、通過比較線段AB，BC的大小，找出較短的線段，根據速度公式可以直接求得；(2)、由已知條件，把△PQB的邊QB用含t的代數式表示出來，三角形的高可由相似三角形的性質也用含t的代數式表示出來，代入三角形的面積公式可得到一個二次函數，即可求出S的最值；(3)、根據等腰三角形的性質和余弦公式列出等式求解，即可求的結論．

試題解析：(1)、作CE⊥AB于E， ∵DC∥AB，DA⊥AB， ∴四邊形AECD是矩形，

∴AE=CD=5，CE=AD=4， ∴BE=3， ∴BC=5， ∴BC＜AB，

∴P到C時，P、Q同時停止運動， ∴t=（秒）， 即t=5秒時，P，Q兩點同時停止運動．

(2)、由題意知，AQ=BP=t， ∴QB=8﹣t， 作PF⊥QB于F，則△BPF～△BCE，

∴，即， ∴BF=，

∴S=QBPF=×（8﹣t）=﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），

∵﹣＜0， ∴S有最大值，當t=4時，S的最大值是；

(3)、∵cos∠B=， ①當PQ=PB時（如圖2所示），則BG=BQ，==，解得t=s，

②當PQ=BQ時（如圖3所示），則BG=PB，==，解得t=s，

③當BP=BQ時（如圖4所示），則8﹣t=t， 解得：t=4．

綜上所述：當t=s，s或t=4s時，△PQB為等腰三角形．