Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（其中b＞0，c＜0）的頂點P在x軸上，與y軸交于點Q，過坐標原點O，作OA⊥PQ，垂足為A，且OA=

2

，b+ac=3．
（1）求b的值；
（2）求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線與x軸只有一個交點，則根的判別式△=0，聯立b+ac=3，即可得到關于b的方程，從而求出b的值；
（2）可用含a、c的式子表示出P、Q的坐標，由勾股定理即可求出PQ的值，進而可根據直角三角形面積的不同表示方法求出a、c的值，從而得到拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點在x軸上，即拋物線與x軸只有一個交點，
∴△=b²-4ac=0，即b²=4ac；
已知b+ac=3，即ac=3-b，
可得：b²=4（3-b），
解得b=2，b=-6（舍去）；
故b的值為2；

（2）由（1）知：拋物線的解析式為y=ax²+2x+c，
則有：P（-

1

a

，0），Q（0，c）；
∴OP=-

1

a

，OQ=-c；
在Rt△OPQ中，由勾股定理得：QP=

OP2+OQ2

=

a2c2+1 a2

；
∵S_△OPQ=OP•OQ=PQ•OA，則有：

a2c2+1 a2

×

2

=（-

1

a

）×（-c），化簡得：

2a2c2+2

a2

=

c2

a2

；
由于ac=3-b=1，即a=

1

c

，
得：2+2=c²，
解得c=-2（正值舍去）；
∴a=

1

c

=-

1

2

；
故拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+2x-2．

點評：此題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、根的判別式、勾股定理、直角三角形面積的不同表示方法等知識的綜合應用能力．