Question

【題目】如圖1，二次函數y= x2+bx+c與一次函數y= x﹣3的圖象都經過x軸上點A（4，0）和y軸上點B（0，﹣3），過動點M（m，0）（0＜m＜4）作x軸的垂線交直線AB于點C，交拋物線于點P．

（1）求b，c的值；
（2）點M在運動的過程中，能否使△PBC為直角三角形？如果能，求出點P的坐標；如果不能，請說明理由；
（3）如圖2，過點P作PD⊥AB于點，設△PCD的面積為S1 ， △ACM的面積為2 ， 若 = ，
①求m的值；
②如圖3，將線段OM繞點O順時針旋轉得到OM′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接M'A、M'B，求M'A+ M'B的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意， ，

解得

（2）

解：若△PBC為直角三角形，顯然∠PCB≠90°．

①當∠PBC=90°時（如圖1﹣1中），作PK⊥y軸于K，則∠PBK=∠BAO=90°﹣∠ABO，

∴tan∠PBK= = ，

解得m= 或0（舍棄），

∴P（ ，﹣ ），

②當∠BPC=90°時（如圖1﹣2中），BP∥x軸，

當y=﹣3時， m2﹣ m﹣3=﹣3，解得m=3或0（舍棄），

∴P（3，﹣3），

綜上所述，滿足條件的點P坐標（ ，﹣ ）或（3，﹣3）

（3）

解：①如圖2中，

∵PD⊥AB，PM⊥OA，

∴∠PDC=∠AMC，

∵∠PCD=∠ACM，

∴△PCD∽△ACM，

∴ =（ ）2= ，

∴ = ，

∵CM∥OB，

∴ = ，

∴AC= （4﹣m），

∵拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3，

∴PC= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+3m，

∴ = ，

解得m=2或4（舍棄），

∴m=2．

②如圖3中，在y軸上取一點E，使得OE= ，連接M′E，AE．

∵OM′=2，OEOB= ×3=4，

∴OM2=OEOB，

∴ = ，

∵∠M′OE=∠BOM′，

∴△M′OE∽△BOM′，

∴ = = ，

∴M′E= BM′，

∴AM′+ BM′=AM′+M′E，

∴當A、M′、E共線時，AM′+ BM′的值有最小值=AE= =

【解析】（1）利用待定系數法即可解決問題．（2）分兩種情形討論即可．①當∠PBC=90°時（如圖1﹣1中），作PK⊥y軸于K．②當∠BPC=90°時（如圖1﹣2中），BP∥x軸．分別列出方程即可解決問題．（3）①由△PCD∽△ACM，可得 =（ ）2= ，推出 = ，由CM∥OB，推出 = ，推出AC= （4﹣m），由拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3，可得PC= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+3m，列出方程，即可解決問題．②如圖3中，在y軸上取一點E，使得OE= ，連接M′E，AE．由OM′=2，OEOB= ×3=4，推出OM2=OEOB，推出 = ，由∠M′OE=∠BOM′，可知△M′OE∽△BOM′，推出 = = ，推出M′E= BM′，所以AM′+ BM′=AM′+M′E，所以當A、M′、E共線時，AM′+ BM′的值有最小值．
【考點精析】掌握二次函數的性質和相似三角形的應用是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．