Question

【題目】已知拋物線y1=x2+bx+c的頂點坐標為（﹣1，1），直線1的解析式為y2=2mx+3m2+4nm+4n2，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點．

（1）求b、c的值；

（2）若函數y1+y2的圖象與x軸始終有公共點，求直線l的解析式；

（3）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使△PAB為等腰角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b的值為2，c的值為2；（2）當△PAB是等腰三角形時，點P坐標為（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，2）．

【解析】

試題分析：（1）利用頂點坐標公式，待定系數法列出方程組即可解決問題．（2）根據△≥0，以及非負數的性質即可解決問題．（3）首先求出A、B坐標，分三種情形討論即可①當BA=BP時，②當AB=AP時，③當PA=PB時．

試題解析：（1）∵拋物線y1=x2+bx+c的頂點坐標為（﹣1，1），

∴，解得：，

∴b的值為2，c的值為2．

（2）y1+y2=x2+2x+2+2mx+3m2+4nm+4n2=x2+（2+2m）x+3m2+4nm+4n2+2，

∵函數y1+y2的圖象與x軸始終有公共點，

∴△=（2+2m）2﹣4×1×（3m2+4nm+4n2+2）≥0，即﹣4（m﹣1）2﹣4（m+2n）2≥0．

∵（m﹣1）2≥0，（m+2n）2≥0，

∴m=1，n=﹣，

∴直線l的解析式為y=2x+2．

（3）如圖，A（﹣1，0），B（0，2）．AB==，對稱軸x=﹣1，

①當BA=BP時，可得P1（﹣1，4），

②當AB=AP時，可得P2（﹣1，），P3（﹣1，﹣），

③當PA=PB時，可得P4（﹣1，2）．

綜上所述，當△PAB是等腰三角形時，點P坐標為（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，2）．