Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A(﹣1，0)，C(0，3)兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，點D與點C關于拋物線對稱軸對稱，作直線AD．點P在拋物線上，過點P作PE⊥x軸，垂足為點E，交直線AD于點Q，過點P作PG⊥AD，垂足為點G，連接AP．設點P的橫坐標為m，PQ的長度為d．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點D的坐標及直線AD的解析式；

(3)當點P在直線AD上方時，求d關于m的函數關系式，并求出d的最大值；

(4)當點P在直線AD上方時，若PQ將△APG分成面積相等的兩部分，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點D的坐標為(2，3)，直線AD的解析式為y＝x+1；（3）d關于m函數關系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值為；（4）m的值為0

【解析】

（1）根據待定系數法可求拋物線的解析式；

（2）將y＝﹣x2+2x+3配方得拋物線的對稱軸，根據軸對稱的性質可得點D的坐標，再根據待定系數法可求直線AD的解析式；

（3）根據兩點間的距離公式可得d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，依此可求d的最大值；

（4）可設直線PG的解析式為y＝﹣x+p，根據中點坐標公式可得G的坐標，再根據待定系數法可求m的值．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c 經過A（﹣1，0），C（0，3）兩點，

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵將y＝﹣x2+2x+3配方，得y＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的對稱軸是直線x＝1．

∴點D的坐標為（2，3）．

設直線AD的解析式為y＝kx+n，

由題意，得，

解得．

∴直線AD的解析式為y＝x+1．

（3）∵點P的橫坐標為m，

∴點P，Q的縱坐標分別為﹣m2+2m+3，m+1，

∴d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝，

∴d關于m函數關系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值為．

（4）設直線PG的解析式為y＝﹣x+p，

∵PQ將△APG分成面積相等的兩部分，

∴G的坐標為（2m+1，2m+2），

∴，

解得m1＝0，m2＝﹣1（不合題意舍去）．

故m的值為0．