Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于，兩點，與軸相交于點，，，直線是拋物線的對稱軸，在直線右側的拋物線上有一動點，連接，，，．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點在軸的下方，當的面積是時，求的面積；

（3）在（2）的條件下，點是軸上一點，點是拋物線上一動點，是否存在點，使得以點，，，為頂點，以為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或．

【解析】

（1）直接利用待定系數法可求得函數解析式；

（2）先求出函數的對稱軸和直線BC的函數表達式，過D作DE⊥OB交OB于點F,交BC于點E，用式子表示出的面積從而求出D的坐標，進一步可得的面積；

（3）根據平行四邊形的性質得到，結合對稱軸和點D坐標易得點N的坐標．

解：（1）∵OA=2，OB=4，

∴A（-2，0），B（4，0），

將A（-2，0），B（4，0）代入得：

，

解得：

∴拋物線的函數表達式為：；

（2）由（1）可得拋物線的對稱軸l：，，

設直線BC：，

可得：

解得，

∴直線BC的函數表達式為：，

如圖1，過D作DE⊥OB交OB于點F,交BC于點E，

設，則，

∴，

由題意可得

整理得

解得（舍去），

∴，

∴

∴

；

（3）存在

由（1）可得拋物線的對稱軸l：，由（2）知，

①如圖2

當時，四邊形BDNM即為平行四邊形，

此時MB=ND=4，點M與點O重合，四邊形BDNM即為平行四邊形，

∴由對稱性可知N點橫坐標為-1，將x=-1代入

解得

∴此時，四邊形BDNM即為平行四邊形．

②如圖3

當時，四邊形BDMN為平行四邊形，

過點N做NP⊥x軸，過點D做DF⊥x軸，由題意可得NP=DF

∴此時N點縱坐標為

將y=代入，

得，解得：

∴此時或，四邊形BDMN為平行四邊形．

綜上所述， 或或．