Question

【題目】已知，△ABC、△DCE均為等邊三角形，且B、C、E三點在一條直線上，BD與AE相交于O點．

（1）求證：△BCD≌△ACE；

（2）求∠DOE的度數；

（3）連接MN，求證：MN∥BE．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：

(1) △ABC、△DCE均為等邊三角形，易知BC=AC，CD=CE. 這樣，對于△BCD與△ACE而言，已經獲得了兩組對應邊的相等關系，只要再證明這兩組對應邊所夾的角∠BCD與∠ACE對應相等就可以用SAS證明這組三角形全等了.觀察圖形可知，∠BCD與∠ACE均是由等邊三角形的一個內角加上一個相同的角∠ACD而形成的，進而可以證明其相等.

(2) 觀察圖形可知，∠DOE是△BOE的一個外角，容易聯想到用三角形外角的相關結論求解該題. 利用三角形外角的相關結論以及第(1)小題中的全等三角形，可以將∠DOE轉化為∠DBC+∠BDC，再由三角形外角的相關結論可知∠DOE與等邊三角形內角∠DCE相等，得到答案.

(3) 分析條件可知∠ACN=60°，結合圖形的形狀可以猜想△MCN為等邊三角形. 若△MCN為等邊三角形，即可通過“內錯角相等，兩直線平行”的方法證明MN∥BE. 本題的問題轉化為如何證明△MCN為等邊三角形. 利用第(1)小題中的全等三角形可以證明△CAN與△CBM全等，得到CN=CM. 這樣就證明了△MCN為等邊三角形，進而容易證明MN∥BE.

試題解析：

(1) ∵△ABC與△DCE均為等邊三角形，

∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠ACD =∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

∵在△BCD與△ACE中：

，

∴△BCD≌△ACE (SAS).

(2) ∵∠DOE是△BOE的一個外角，

∴∠DOE=∠OBE+∠OEB，即∠DOE=∠DBC+∠AEC，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠BDC=∠AEC，

∴∠DOE=∠DBC+∠BDC，

∵∠DCE是△BCD的一個外角，

∴∠DCE=∠DBC+∠BDC，

∴∠DOE=∠DCE，

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠DCE=60°，

∴∠DOE=∠DCE=60°.

(3) ∵△ABC與△DCE均為等邊三角形，

∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，即∠BCM=∠ECN=60°，

∵B、C、E三點在一條直線上，

∴∠ACN+∠BCM+∠ECN=180°，

∴∠ACN=180°-∠BCM-∠ECN=180°-60°-60°=60°，

∴∠ACN=∠BCM，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CBD=∠CAE，即∠CAN=∠CBM，

∵在△CAN與△CBM中：

，

∴△CAN≌△CBM (ASA)，

∴CN=CM，

∵∠ACN=60°且CN=CM，

∴△MCN為等邊三角形，

∴∠CMN=60°，

∴∠CMN=∠ACB=60°，

∴MN∥BE.