Question

【題目】綜合與探究

如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點N是拋物線上異于點C的動點，若△NAB的面積與△CAB的面積相等，求出點N的坐標；

（3）如圖2，當P為OB的中點時，過點P作PD⊥x軸，交拋物線于點D．連接BD，將△PBD沿x軸向左平移m個單位長度（0＜m≤2），將平移過程中△PBD與△OBC重疊部分的面積記為S，求S與m的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）點N的坐標是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）S＝﹣m2+m+．

【解析】

（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；

（2）由拋物線解析式求得點C的坐標，即OC＝3，所以由三角形的面積公式得到點N到x軸的距離為3，據此列出方程并解答；

（3）如圖2，由已知得，QB＝m，PQ＝2，利用待定系數法確定直線BC的表達式為y＝x﹣3．根據二次函數圖象上點的坐標特征和坐標與圖形的性質求得D（2，﹣3），所以直線CD∥x軸．由此求得EM的長度；過點F作FH⊥PM于點M，構造相似三角形：△MHF∽△MPQ和△CMF∽△BQF，根據相似三角形的對應邊成比例推知＝．設MF＝k（2﹣m），QF＝km，由三角形的面積公式和圖形得到：S＝S△PQM﹣S△EMF＝3﹣（﹣m+）（2﹣m）＝﹣m2+m+．

解：（1）如圖1，把點A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得，

所以該拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣3；

（2）將x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3），

∴OC＝3．

設N（x，y），

∵S△NAB＝S△CAB，

∴|y|＝OC＝3，

∴y＝±3．

當y＝3時，x2﹣x﹣3＝3，

解得x＝+1．

當y＝﹣3時，x2﹣x﹣3＝﹣3，

解得x1＝2，x2＝0（舍去）．

綜上所述，點N的坐標是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；

（3）如圖2，由已知得，QB＝m，PQ＝2，

設直線BC的表達式為y＝kx+b（k≠0）．

∵直線y＝kx+b經過點B（4，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直線BC的表達式為y＝x﹣3．

當0＜m≤2時，由已知得PB＝2+m．

∵OP＝2﹣m，

∴E（2﹣m，﹣m﹣）．

由OB＝4得OP＝2，

把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，

∴D（2，﹣3），

∴直線CD∥x軸．

∵EP＝m+，MP＝3，

∴EM＝MP﹣EP＝3﹣m﹣＝﹣m+．

過點F作FH⊥PM于點M，則∠MHF＝∠MPQ＝90°．

∵∠HMF＝∠PMQ，

∴△MHF∽△MPQ，

∴＝．

∵∠FCM＝∠FBQ，∠FMC＝∠FQB，

∴△CMF∽△BQF，

∴＝．

∵CD＝2，

∴CM＝2﹣m，

∴＝．

設MF＝k（2﹣m），QF＝km，

∴MQ＝2k，

∴＝．

∴＝．

∵PQ＝2，

∴HF＝2﹣m．

∴S△EMF＝EMHF＝（﹣m+）（2﹣m）．

∵S△PQM＝PQPM＝×3×2＝3，

∴S＝S△PQM﹣S△EMF＝3﹣（﹣m+）（2﹣m）＝﹣ m2+ m+ ．