Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，cos∠B=

1

3

，D為AB上一點，過點D作DE⊥AB交BC邊于點E，過點E作EF⊥BC交AC邊于點F．
（1）當BD長為何值時，以點F為圓心，線段FA為半徑的圓與BC邊相切；
（2）過點F作FP⊥AC，與線段DE交于點G，設BD長為x，△EFG的面積為y，求y關于x的函數解析式及其定義域．

Answer 1

分析：（1）過點A作AM⊥BC，垂足為點M，根據已知可求得BC的長，再根據三角函數即可求得BD的長．
（2）根據已知可得到△ABC∽△EFG，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求得函數解析式．

解答：解：（1）過點A作AM⊥BC，垂足為點M，
在Rt△ABM中，cos∠B=

1

3

，AB=3，
∴BM=1．
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BC=2．
設BD長為x，
在Rt△BDE中，cos∠B=

1

3

，
∴BE=3x，EC=2-3x．
同理FC=6-9x，FE=4

2

-6

2

x．
∴AF=9x-3．
由題意得9x-3=4

2

-6

2

x．
解得x=2

2

-

7

3

．

（2）∵DE⊥AB，EF⊥BC，
∴∠B+∠BED=90°，∠DEF+∠BED=90°．
∴∠B=∠DEF．
同理∠EFG=∠C．
∴△ABC∽△EFG．
∴

SEFG

SABC

=（

EF

BC

）²
∴

y

2 2

=（

4 2 -6 2 x

2

）²
∴y=36

2

x²-48

2

x+16

2

．
∵△ABC∽△EFG，
∴BC：EF=AB：GE，
∴2：（4

2

-6

2

x）=3：GE，
∴GE=6

2

-9

2

x．
∵在△BDE中，∠BDE=90°，BD=x，BE=3x，
∴DE=2

2

x．
∴DG=DE-GE=2

2

x-（6

2

-9

2

x）=11

2

x-6

2

．
∵點G在線段DE上，EG為△EFG的一條邊，
∴DG≥0，且EG＞0，
∴11

2

x-6

2

≥0，且6

2

-9

2

x＞0，
解得

6

11

≤x＜

2

3

．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，相似三角形的性質以及解直角三角形的應用等知識點，弄清各邊之間的關系是解題的關鍵．