Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P、Q分別在直線(xiàn)CB與射線(xiàn)DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持∠APQ=90°，CQ=1，則線(xiàn)段BP的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】2或2﹣2或2+2

【解析】

設(shè)BP＝x，分三種情況討論：①當(dāng)P在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖1，②當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，③當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，證明：△ABP∽△PCQ，列比例式可得對(duì)應(yīng)x的值．

設(shè)BP＝x，分三種情況討論：

①當(dāng)P在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖1．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°．

∵∠APQ＝90°，∴∠APB+∠CPQ＝90°，∴∠BAP＝∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴x1＝x2＝2，∴BP＝2；

②當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，同瑆得：△ABP∽△PCQ，∴，∴，x2+4x﹣4＝0，x＝﹣2+2或﹣2﹣2（舍）；

③當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，同瑆得：△ABP∽△PCQ，∴，∴，x2﹣4x﹣4＝0，x＝2+2或2﹣2（舍）．

綜上所述：線(xiàn)段BP的長(zhǎng)為2或22或22．

故答案為：2或22或22．