Question

【題目】已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若∠CAD=∠DBC.

（1）求證：ABCD是正方形.

（2）E是OB上一點，DH⊥CE，垂足為H，DH與OC相交于點F，求證：OE=OF.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）利用菱形的對角線平方每組對角即可求解證明；（2）根據已知條件證得△ECO≌△FDO，即可得證.

（1）證明：∵四邊形是菱形，

∴，∠BAD=2∠DAC, ∠ABC=2∠DBC ;

∴∠DAB+∠ABC=180°;

∵∠DAC=∠DBC;

∴∠BAD=∠ABC,

∴2∠BAD=180°;

∴∠BAD=90°;

∴四邊形ABCD是正方形.

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形；

∴AC⊥BD,AC=BD,CO=AC，DO=BO

∴∠COB=∠DOC=90°，CO=DO

∵DH⊥CE，垂足為H；

∴∠DHE=90°，∠EDH+∠DEH=90°

又∵∠ECO+∠DEH=90°

∴∠ECO=∠EDH

∴△ECO≌△FDO；

∴.