Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，點D為AB的中點．

⑴如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為______cm/s時，在某一時刻也能夠使△BPD與△CPQ全等．

⑵若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都按逆時針方向沿△ABC的三邊運動．求經過多少秒后，點P與點Q第一次相遇，并寫出第一次相遇點在△ABC的哪條邊上？

Answer 1

【答案】（1）1s；（2）①點Q的運動速度為cm/s時，能使△BPD≌△CPQ；②點P、Q在AC邊上相遇，相遇地點距離C點4cm處．

【解析】

（1）①根據時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據 判定兩個三角形全等．
②根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度×時間公式，先求得點運動的時間，再求得點的運動速度；
（2）根據題意結合圖形分析發現：由于點的速度快，且在點的前邊，所以要想第一次相遇，則應該比點多走等腰三角形的兩個邊長．

（1）①全等.理由如下：

證明：∵t=1秒，

∴BP=CQ=1×1=1 cm，

∵AB=6cm，

點D為AB的中點，

∴BD=3cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，

∴PC=4－1=3cm，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，

②假設

又

則

∴點P,點Q運動的時間秒，

（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，

由題意得：1.5x=x+2×6，解得x=24.

∴點P共運動了24×1m/s=24cm．

∵24=16+4+4 ∴點P、點Q在AC邊上相遇，

∴經過24秒點P與點Q第一次在邊AC上相遇．