Question

【題目】如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，和過點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為，且平分．

（1）求證：為的切線；

（2）若，的半徑為3，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC＝

【解析】

（1）連接CO，通過等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠DAC＝∠OCA，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出CO∥AD，再利用即可證明,則結(jié)論可證；

（2）連接BC，由圓周角定理的推論得出∠ACB＝90°，再由角平分線得出∠BAC＝30°，再根據(jù)AB=2r=6和特殊角的三角函數(shù)值即可求解．

（1）證明：連接CO，

∵AO＝CO，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴CO∥AD，

∴CO⊥CD，

∴DC為⊙O的切線；

（2）連接BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，

∴∠BAC＝∠DAB＝30°，

∵⊙O的半徑為3，

∴AB＝6，

∴AC＝AB＝3．