Question

【題目】6月1日是兒童節，為了迎接兒童節的到來，蘭州某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進乙種玩具的件數相同．

（1）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？

（2）商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數少于24件，并且商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進貨方案？

（3）在（2）條件下，若每件甲種玩具售價30元，每件乙種玩具售價45元，請求出賣完這批玩具獲利W（元）與甲種玩具進貨量m（件）之間的函數關系式，并求出最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】（1）甲、乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）故商場共有四種進貨方案：方案一：購進甲種玩具20件，乙種玩具28件；方案二：購進甲種玩具21件，乙種玩具27件；方案三：購進甲種玩具22件，乙種玩具26件；方案四：購進甲種玩具23件，乙種玩具25件；（3）W＝﹣5m+960，最大利潤860元.

【解析】

(1)設甲種玩具進價為x元/件，則乙種玩具進價為(40﹣x)元/件，根據用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進乙種玩具的件數相同可列方程求解；

(2)設購進甲種玩具m件，則購進乙種玩具(48﹣m)件，根據甲種玩具的件數少于24件，并且商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，可列出不等式組求解；

(3)先列出有關總利潤和進貨量的一次函數關系式，然后利用一次函數的性質結合自變量的取值范圍求最大值即可．

(1)設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為(40﹣x)元/件，

根據題意，得，

解得x＝15，

經檢驗x＝15是原方程的解，

則40﹣x＝25，

答：甲、乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；

(2)設購進甲種玩具m件，則購進乙種玩具(48﹣m)件，

由題意，得，

解得20≤m＜24，

∵m是整數，

∴m取20，21，22，23，

故商場共有四種進貨方案：

方案一：購進甲種玩具20件，乙種玩具28件；

方案二：購進甲種玩具21件，乙種玩具27件；

方案三：購進甲種玩具22件，乙種玩具26件；

方案四：購進甲種玩具23件，乙種玩具25件；

(3)設購進甲種玩具m件，賣完這批玩具獲利W元，則購進乙種玩具(48﹣m)件，

根據題意得：W＝(30﹣15)m+(45﹣25)(48﹣m)＝﹣5m+960，

∵比例系數k＝﹣5＜0，

∴W隨著m的增大而減小，

∴當m＝20時，有最大利潤W＝﹣5×20+960＝860元．