Question

如圖，AD是△ABC的中線，AE=EF=FC，BE、AD相交于點G，下列4個結論：①DF∥GE；②DF：BG=2：3；③AG=GD；④S_△BGD=S_{四邊形EFDG}；其中正確的有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：根據三角形中位線的定義以及性質定理、平行線分線段成比例定理進行證明．

解答：解：如右圖所示，
①∵AD是△ABC中線，
∴D是BC中點，
∵EF=FC，
∴F是CE中點，
∴DF是△CBE的中位線，
∴DF∥BE，
即DF∥GE，
故此選項正確；
②由①得DF∥GE，
又∵AE=EF，
∴AE：EF=AG：DG，
∴AG=DG，
∴EG是△ADF的中位線，
∴

1

2

DF=GE，
由①知DF是△CBE的中位線，
∴DF=

1

2

BE，
∴BG=

3

2

DF，
∴DF：BG=2：3，
此選項正確；
③由②知AG=DG，
此選項正確；
④連接GF，設BE、DF之間的距離是h，
根據題意，得
S_△BDG=

1

2

BG•h，S_{四邊形EFDG}=S_△DFG+S_△EGF=

1

2

DF•h+

1

2

EG•h，
又∵DF：BG=2：3，

1

2

DF=GE，
∴S_△BDG=

3

4

DF•h，S_{四邊形EFDG}=

3

4

DF•h，
∴S_△BDG=S_{四邊形EFDG}，
此選項正確．
故選D．

點評：本題考查了三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理．解題的關鍵是證明DF是△CBE的中位線，EG是△ADF的中位線．