Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線（b，c為常數）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q．

（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；

（ii）取BC的中點N，連接NP，BQ．試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意，得點B的坐標為（4，﹣1）．

∵拋物線過A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點，

∴，解得。

∴拋物線的函數表達式為：。

（2）（i）∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直線AC的解析式為：y=x﹣1。

設平移前拋物線的頂點為P0，則由（1）可得P0的坐標為（2，1），且P0在直線AC上。

∵點P在直線AC上滑動，∴可設P的坐標為（m，m﹣1）。

則平移后拋物線的函數表達式為：。

解方程組：，解得，。

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）。

過點P作PE∥x軸，過點Q作QE∥y軸，則

PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，

∴PQ==AP0。

若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

①當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為（即為PQ的長），

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP0為等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=。

如答圖1，過點B作直線l1∥AC，交拋物線于點M，則M為符合條件的點。

∴可設直線l1的解析式為：y=x+b1。

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5。∴直線l1的解析式為：y=x﹣5。

解方程組，得：，。

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）。

②當PQ為斜邊時：MP=MQ=2，可求得點M到PQ的距離為．

如答圖1，取AB的中點F，則點F的坐標為（2，﹣1）。

由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：

△AFP0為等腰直角三角形，且點F到直線AC的距離為。

過點F作直線l2∥AC，交拋物線于點M，則M為符合條件的點。

∴可設直線l2的解析式為：y=x+b2，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b1=﹣3。∴直線l2的解析式為：y=x﹣3。

解方程組，得：，。

∴M3（，），M4（，）。

綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（，），M4（，）。

（ii）存在最大值。理由如下：

由（i）知PQ=為定值，則當NP+BQ取最小值時，有最大值。

如答圖2，取點B關于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標為（0，3），BQ=B′Q。

連接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四邊形PQFN為平行四邊形。

∴NP=FQ。

∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′。

∴當B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小值為。

∴的最大值為。

【解析】（1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的函數表達式。

（2）（i）首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度，作為后續計算的基礎。

若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

①當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為．此時，將直線AC向右平移4個單位后所得直線（y=x﹣5）與拋物線的交點，即為所求之M點。

②當PQ為斜邊時：點M到PQ的距離為．此時，將直線AC向右平移2個單位后所得直線（y=x﹣3）與拋物線的交點，即為所求之M點．

（ii）由（i）可知，PQ=為定值，因此當NP+BQ取最小值時，有最大值。如答圖2所示，作點B關于直線AC的對稱點B′，由解析可知，當B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長度。