Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB在x軸上，D點y軸上，∠C=60°，BC=6，B點坐標為（4，0）．點M是邊AD上一點，且DM：AD=1：3．點E、F分別從A、C同時出發，以1厘米/秒的速度分別沿AB、CB向點B運動（當點F運動到點B時，點E隨之停止運動），EM、CD的延長線交于點P，FP交AD于點Q．⊙E半徑為

5

2

，設運動時間為x秒．
（1）求直線BC的解析式；
（2）當x為何值時，PF⊥AD；
（3）在（2）問條件下，⊙E與直線PF是否相切？如果相切，加以證明，并求出切點的坐標；如果不相切，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知BC=6，點B的坐標為（4，0），可求出點C的坐標．設直線BC的解析式為y=kx+b，把已知坐標代入可求．
（2）如果PF⊥AD，那么PF與BC也垂直，由此可得出∠CPF=30°，即CF=

1

2

PC，可用x表示出CF、PC，根據CF，PC的比例關系式可得出關于x的方程，即可求出x的值．
（3）本題只要證E到PF的距離是否為

5

2

即可．過E作PF的垂線，設垂足為G，延長PF交x軸于M，過P作PN∥DA交x軸于N，由于PN∥AD，AD⊥PF，因此NP⊥PF，在直角三角形PNM中，∠PMN=30°，因此NG=2PN=12，那么EM=12-PD-AE=12-

14

6

-

14

3

=5，那么在直角三角形EGM中，∠PMN=30°，EM=5，因此EG=2.5=r，由此可得出PF與⊙E相切．
求切點即G點坐標時，可過G作x軸的垂線，即可通過構建的直角三角形，用三角形函數求出G點橫坐標和縱坐標，進而可求出切點的坐標．

解答：解：（1）y=

3

x-4

3

．

（2）∵PF⊥AD，AD∥BC
∴PF⊥BC
∵∠C=60°，
∴∠CPF=30°
∴CF=

1

2

PC，
又∵△PDM∽△EAM，且DM：AD=1：3，
∴PD：AE=1：2，
又∵AE=x，
∴PD=

1

2

x，
∵DC=AB=OA+OB=3+4=7，
∴PC=

1

2

x+7，
又∵CF=x，
∴x=

1

2

(

1

2

x+7)
∴x=

14

3

∵0＜

14

3

＜6
∴當x=

14

3

時，PF⊥AD．

（3）相切，
過E作PF的垂線，設垂足為G，延長PF交x軸于M，過P作PN∥DA交x軸于N，由于PN∥AD，AD⊥PF，因此NP⊥PF，在直角三角形PNM中，∠PMN=30°，因此MN=2PN=12，那么EM=12-PD-AE=12-

14

6

-

14

3

=5，那么在直角三角形EGM中，∠PMN=30°，EM=5，因此EG=2.5=r，由此可得出PF與⊙E相切．
求切點即G點坐標時，可過G作x軸的垂線GR⊥BE，
∵∠C=∠DAO=60°，BC=AD=6，
∴AO=3，
∴OE=

14

3

-3=

5

3

，
∵EG⊥PF，
∴AD∥GE∥BC，
∴∠GER=60°，
∴ER=

1

2

EG=

5

4

，
∴GR=

5 3

4

，
∴OR=

5

4

+

5

3

=

35

12

，
∴切點G的坐標為(

35

12

，

5 3

4

)．

點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數的解析式，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，切線的判定等知識點．
綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．