Question

【題目】如圖，拋物線y=mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點M為拋物線的頂點，且OC=OB．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若拋物線上有一點P，連PC交線段BM于Q點，且S△BPQ=S△CMQ，求P點的坐標．

（3）把拋物線沿x軸正半軸平移n個單位，使平移后的拋物線交直線BC于E、F兩點，且E、F關于點B對稱，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）點P的坐標為（2，﹣3）；（3）n=．

【解析】

（1）先求出點A、B的坐標、OB、OC的長，從而得到點C的坐標，然后把點C的坐標代入拋物線的解析式就可解決問題；

（2）運用待定系數法可求得直線BC的解析式為y=x-3，由S△BPQ=S△CMQ可得S△PBC=S△MBC，從而可得MP∥BC，故直線MP的解析式可設為y=x+n，然后只需求出拋物線y=x2-2x-3的頂點M的坐標，就可得到直線MP的解析式為y=x-5，最后求得直線MP與拋物線的交點坐標即可；

（3）設平移后拋物線的解析式：y=（x-1-n）2-4，將y=x-3代入y=（x-1-n）2-4得：x-3=（x-1-n）2-4，從而可得到xE+xF=2n+3，依據依據點E與點F關于B對稱可得到2n+3=6，從而可求得n的值．

（1）令y=0，得：mx2﹣2mx﹣3m=0，

∵m＞0，

∴x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0）、，B（3，0）、OB=3．

∵OC=OB=3，點C在y軸的負半軸上，

∴C（0，﹣3），

∴﹣3m=﹣3，

∴m=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，則有，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3．

∵S△BPQ=S△CMQ，

∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ，

∴S△PBC=S△MBC，

∴MP∥BC，

∴直線MP的解析式可設為y=x+n．

∵拋物線y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4的頂點M的坐標為（1，﹣4），

∴1+n=﹣4，

∴n=﹣5，

∴直線MP的解析式為y=x﹣5．

聯立，解得：（舍去），或，

∴點P的坐標為（2，﹣3）．

（3）平移后拋物線的解析式：y=（x﹣1﹣n）2﹣4．

將y=x﹣3代入y=（x﹣1﹣n）2﹣4得：x﹣3=（x﹣1﹣n）2﹣4，整理得：x2﹣（2n+3）x+（n+1）2﹣1=0，

∴xE+xF=2n+3．

又∵點E與點F關于點B對稱，

∴xE+xF=2×3，即2n+3=6，解得：n=．