Question

（一）如圖，放在直角坐標(biāo)系中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4．現(xiàn)做如下實(shí)驗(yàn)：
拋擲一枚均勻的正四面體骰子（它有四個(gè)頂點(diǎn)，各頂點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)分別是1至4這四個(gè)數(shù)字中的一個(gè)），每個(gè)頂點(diǎn)朝上的機(jī)會(huì)是相同的，連續(xù)拋擲兩次，將骰子朝上的頂點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)作為直角坐標(biāo)系中P點(diǎn)的坐標(biāo)（第一次的點(diǎn)數(shù)作橫坐標(biāo)，第二次的點(diǎn)數(shù)作縱坐標(biāo)）．
（1）求P點(diǎn)落在正方形ABCD面上（含正方形內(nèi)和邊界，下同）的概率；
（2）將正方形ABCD平移整數(shù)個(gè)單位，則是否存在一種平移，使點(diǎn)P落在正方形ABCD面上的概率為

3

4

？若存在，指出其中的一種平移方式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（二）若將（一）中所做實(shí)驗(yàn)用的“正四面體骰子”改為“各面標(biāo)有1至6這六個(gè)數(shù)字中的一個(gè)的正方體骰子”，其余（實(shí)驗(yàn)步驟、作用）均不變．將正方形ABCD平移整數(shù)個(gè)單位，試求出點(diǎn)P落在正方形ABCD面上的概率．

Answer 1

分析：（一）依題意得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4四種選擇，縱坐標(biāo)也有數(shù)字1，2，3，4四種選擇，故點(diǎn)P的坐標(biāo)共有16種情況，有四種情況將落在正方形ABCD上，所以概率為

1

4

．要使點(diǎn)P落在正方形面上的概率為

3

4

，所以要將正方形移動(dòng)使之符合．
（二）依題意可得如點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)都有數(shù)字1，2，3，4，5，6六種選擇，所以構(gòu)成點(diǎn)P的坐標(biāo)共有36種情況．

解答：解：（一）（1）根據(jù)題意，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4四種選擇，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也有數(shù)字1，2，3，4四種選擇，所以構(gòu)成點(diǎn)P的坐標(biāo)共有4×4=16種情況．其中點(diǎn)P的（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四種情況將落在正方形ABCD面上，故所求的概率為

4

16

=

1

4

．

（2）因?yàn)橐�使點(diǎn)P落在正方形ABCD面上的概率為

3

4

=

12

16

＞

1

4

，所以只能將正方形ABCD向上或向右整數(shù)個(gè)單位平移，且使點(diǎn)P落在正方形面上的數(shù)目為12．即
∴存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的平移方式：先將正方形ABCD上移2個(gè)單位，后右移1個(gè)單位（先右后上亦可）；或先將正方形ABCD上移1個(gè)單位，后右移2個(gè)單位（先右后上亦可）．

（二）點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)都有數(shù)字1，2，3，4，5，6六種選擇，所以構(gòu)成點(diǎn)P的坐標(biāo)共有6×6=36種情況．
（1）移動(dòng)0（即不移動(dòng)）時(shí)，為

4

36

=

1

9

．
（2）先下移1個(gè)單位，后左移0，1個(gè)單位時(shí)，為

2

36

，

1

36

，即

1

18

，

1

36

．
（3）先下移1個(gè)單位，后右移1，2，3個(gè)單位，為

3

36

，

4

36

，

5

36

，即

1

12

，

1

9

，

5

36

．
（4）先左移1個(gè)單位，后下移0.1個(gè)單位時(shí)，為

2

36

，

1

36

，即

1

18

，

1

36

．
（5）先左移1個(gè)單位，后上移1，2，3個(gè)單位時(shí)，為

3

36

，

4

36

，

5

36

，即

1

12

，

1

9

，

5

36

．
（6）上移1，2，3個(gè)單位時(shí)，為

6

36

，

8

36

，

8

36

，即

1

6

，

2

9

，

5

18

．
（7）右移1，2，3個(gè)單位時(shí)，為

6

36

，

8

36

，

10

36

，即

1

6

，

2

9

，

5

18

．
（8）先上移1個(gè)單位，后右移1，2，3個(gè)單位時(shí)，為

9

36

，

12

36

，

15

36

，即

1

4

，

1

3

，

5

12

．
（9）先上移2個(gè)單位，后右移1，2，3個(gè)單位時(shí)，為

12

36

，

16

36

，

20

36

，即

1

3

，

4

9

，

5

9

．
（10）先上移3個(gè)單位，后右移1，2，3個(gè)單位時(shí)，為

15

36

，

20

36

，

25

36

，即

5

12

，

5

9

，

25

36

．
（11）正方形下移或左移超過(guò)1個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)P落在正方形ABCD面上的概率為0．在此點(diǎn)P落在正方形ABCD面上的概率（不同）為：
0，

1

36

，

1

18

，

1

12

，

1

9

，

5

36

，

1

6

，

1

9

，

1

4

，

5

18

，

1

3

，

5

12

，

4

9

，

5

9

，

25

36

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平移的性質(zhì)，幾何概率的知識(shí)以及正方形的性質(zhì)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．