Question

【題目】如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合．三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G．

（1）求證：EF＝EG；

（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經過點B，其他條件不變，若AB＝a，BC＝b，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立；見解析；（3）．

【解析】(1)由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性質，可利用ASA證得Rt△FED≌Rt△GEB，則問題得證；(2)首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、P，然后利用ASA證得Rt△FEI≌Rt△GEH，則問題得證；(3)首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，易證得EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有兩角對應相等的三角形相似，證得△GME∽△FNE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解：（1）∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，

又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB（ASA），∴EF=EG；

（2）成立，

證明如下：

如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，則EH=EI，∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，

∴Rt△FEI≌Rt△GEH（ASA），

∴EF=EG；

（3）如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，則∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD，

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴， ，

∴即，

∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，

∴∠GEM=∠FEN，

∵∠GME=∠FNE=90°，

∴△GME∽△FNE，

∴，

∴．

“點睛”此題考查了正方形，矩形的性質，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質．此題綜合性較強，注意數形結合思想的應用．