Question

【題目】（閱讀）如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，我們把這個(gè)操作過(guò)程記為FZ [θ，a ]

（理解）若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則這個(gè)操作過(guò)程為FZ [45°，3]；

（嘗試）

（1）若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），求θ；

（2）經(jīng)過(guò)FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上（如圖3），求出a的值；若點(diǎn)E落在四邊形OABC的外部，直接寫(xiě)出a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)30°;(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】

(1)先根據(jù)ASA定理得出△BCD≌△AFD ,故可得出CD＝ FD ,即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)，由折疊可知,OD＝ OC,故OD＝ OC＝ CD,△OCD為等邊三角形,∠COD ＝ 60°，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論;

(2)根據(jù)點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上可知AB⊥直線l,根據(jù)由折疊可知,OD＝OC＝3,DE＝ BC＝2.再由θ＝ 45°, AB⊥直線l,得出△ADE為等腰直角三角形,故可得出OA的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)論.

(1)連接CD并延長(zhǎng)，交0A延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在△BCD與△AFD中，，∴ △BCD≌△AFD（ASA）∴CD＝ FD,即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)，∴OD＝CF＝CD，又由折疊可知，OD＝OC，∴OD＝OC＝CD，∴△OCD為等邊三角形，∠COD＝60°，∴θ＝∠COD＝30°；

（2）∵點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上，∴AB⊥直線l，由折疊可知，OD＝OC＝3，DE＝BC＝2,∵θ＝45°，AB⊥直線l，∴△ADE為等腰直角三角形，∴AD＝DE＝2，∴OA＝OD＋AD＝3＋2＝5，∴a＝5，由圖可知，當(dāng)0＜a＜5時(shí)，點(diǎn)E落在四邊形OABC的外部.