Question

【題目】如圖1，拋物線y＝a（x﹣h）2﹣9交x軸于A、B兩點，交y軸于點C．

（1）若A（﹣2，0），當h＝1時，

①求拋物線的解析式．

②平行x軸的直線y＝t交拋物線于M、N點（點M在點N左側），過M、N、C三點作⊙P．若MP⊥CP，求t值．

（2）如圖2，當h＝0時，正比例函數y＝kx交拋物線于E、F兩點，直線AE、BF相交于T點，求點T的運動軌跡．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）T在直線上運動．

【解析】

（1）①由已知可得，將A（-2，0）代入拋物線解析式可得；

②由已知可得P點在MN的垂直平分線上，P點在拋物線對稱軸x=1上，設

，則△PCM是等腰直角三角形，所以，，∠MNC=∠MPC=45°，設MN與y軸的交點為H，則HN=HC，所以，令，可得，，求出t即可；

（2）由已知可得y=ax2-9，設A（-s，0），B（s，0），所以as2=9，AE的直線解析式為y=k1x+k1s與拋物線相交可得，，直線BF的解析式為y=k2x-k2s與拋物線相交可得，，直線EF的解析式為y=kx與拋物線相交可得，，，，，直線AE與直線BF相交可得T，，求得T，，可得T在直線y=18上運動．

（1）①將h=1，A(﹣2，0)代入得：

解得：,

∴

即：；

②∵M、N、C三點作⊙P，

∴P點在MN的垂直平分線上，

∴P點在拋物線對稱軸x=1上，

如圖，MN交y軸和拋物線對稱軸于分別為點H和G，過點C作拋物線對稱軸x=1的垂線垂足為D，連接NC，

∵MN平行x軸，

∴四邊形CDGH為矩形，

∴DG=HC，GH=CD=1，

∵PM=PC，PM⊥PC，

∴△PCM是等腰直角三角形，∠MPC=∠MGP=∠PDC=，

∵∠MPG+∠CPD=∠PCD+∠CPD =，

∴∠MPG=∠PCD，

在和中，，

∴，

∴，，

設，

∴，

∴，

∴m=﹣t﹣6，

∴∠MNC=∠MPC=45°，

∴HN=HC，

∴，

∴，

令，

∴，

∴，

∴(舍)或，

∴；

(2)∵，

∴，

設，

∴，

∴AE的直線解析式為，

∴，

∴，，

直線BF的解析式為，

∴，

∴，，

∵直線EF的解析式為，

∴，

∴，，

∵as2=9，

∴，，

∴，

∵，

∴T，)，

∵，

∴T，)，

∴T在直線y=18上運動．