Question

24、提高題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（1）已知代數式-2x²+4x-18
①用配方法說明無論x取何值，代數式的值總是負數．
②當x為何值時，代數式有最大值，最大值是多少？
（2）閱讀下面的例題
解方程x²-|x|-2=0
解：（1）當x≥0時，原方程化為x²-x-2=0，
解得：x₁=2，x₂=-1（不合題意，舍去）．
（2）當x＜0時，原方程化為x²+x-2=0，
解得：x₁=-2，x₂=1（不合題意，舍去）．
∴原方程的根是x₁=2，x₂=-2．
請參照例題解方程x²-|x-1|-1=0．
（3）假日旅行社為吸引市民組團去某風景區旅游，推出了如下收費標準：
某單位組織員工去該風景區旅游，共支付給假日旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去風景區旅游？

Answer 1

分析：（1）利用完全平方式來解答；
（2）利用公式法來解方程，在解答過程中，要注意對|x-1|進行分類討論；
（3）根據題意，先確定旅游團的人數x，顯然x＞25，因為如果x≤25，則費用是25×1000=25000元，而實際費用是27000元，不符；所以每個人的費用應該是1000-20（x-25）=1500-20x元，根據題意列出方程（1500-20x）x=27000，解方程即可．

解答：解：（1）①-2x²+4x-18
=-2（x²-2x）-18
=-2（x-1）²-16
∵-2（x-1）²≤0，-16＜0，
∴-2（x-1）²-16＜0，
∴無論x取何值，代數式的值總是負數；
②由①知，原式=-2（x-1）²-16，
∴當-2（x-1）²=0，即x=1時，代數式有最大值；
當x=1時，原式=-16．
∴當x=1時，代數式有最大值，最大值是-16；
（2）①當x-1≥0，即x≥1時，原方程化為x²-x=0，
解得：x₁=1，x₂=0（不合題意，舍去）．
②當x-1＜0，即x＜1時，原方程化為x²+x-2=0，
解得：x₁=-2，x₂=1（不合題意，舍去）．
∴原方程的根是x₁=1，x₂=-2；
（3）設該單位這次共有x個員工去風景區旅游．則根據題意，得
顯然x＞25，因為如果x≤25，則費用是25×1000=25000元，而實際費用是27000元，不符；
所以每個人的費用應該是1000-20（x-25）=1500-20x元，根據題意，得
（1500-20x）x=27000，
解得x₁=30，x₂=45
①當x₁=30，1500-20x=900＞700，符合題意；
②當x₂=45，1500-20x=600＜700，不符合題意，舍去．
答：該單位這次共有30個員工去風景區旅游．

點評：本題考查了解一元二次方程的方法，配方法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．當配方法不適合方程時，即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程．