Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D， 其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3．與y軸負半軸交于點C，當a=時，△ABD是_______三角形；要使△ACB為等腰三角形，則a值為______

Answer 1

【答案】 等腰直角 或

【解析】解：如圖1，∵二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3，a=，∴二次函數為y=（x+1）（x﹣3），整理得y=x2﹣x﹣，∴y=（x﹣1）2﹣2，∴頂點D（1，﹣2），作DE⊥AB于E，∴DE=2，DE垂直平分AB，∵AB=3+1=4，∴AE=DE=BE，∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，當AB=BC=4時，∵AO=1，△BOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c=﹣，與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；

同理當AB=AC=4時，∵AO=1，△AOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c=﹣與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；

同理當AC=BC時

在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程無解．

綜上，要使△ACB為等腰三角形，則a值為或；

故答案為：等腰直角， 或．