Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，點O為AB上一點，且3AO=AB，以OA為半徑作半圓O，交AC于點D，AB于點E，DE與OC相交于F．

（1）求證：CB與⊙O相切；

（2）若AB=6，求DF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF=．

【解析】

（1）過O作OH⊥BC與H，根據直角三角形的性質得到OH=OB，證得OH=OA，于是得到結論；

（2）解直角三角形得到BC=AB=3，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：過O作OH⊥BC與H，

∵∠ACB=90°，

∴OH∥AC，

∵∠A=60°，

∴∠HOB=60°，

∴OH=OB，

∵3AO=AB，

∴OA=BO，

∴OH=OA，

∴CB與⊙O相切；

（2）解：∵AB=6，3AO=AB，

∴AE=4，OB=4，

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，

∴BC=AB=3，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

△OEF∽△OBC，

∴，

∴，，

∴，

∴DF=．