Question

【題目】綜合題

（1）問題
如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．
填空：當點A位于時，線段AC的長取得最大值，且最大值為（用含a，b的式子表示）
（2）應用
點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最大值．
（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）CB的延長線上,a+b
（2）解：①CD=BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴CD=BE；

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，

∴由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

∴最大值為BD+BC=AB+BC=4

（3）解：如圖1，連接BM，

∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=2，BN=AM，

∵A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），

∴OA=2，OB=5，

∴AB=3，

∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN= AP=2 ，

∴最大值為2 +3；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE= ，

∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣ =2﹣ ，

∴P（2﹣ ， ）

【解析】解：（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，

∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，

故答案為：CB的延長線上，a+b；

（1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論。
（2）①根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE；
②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果。
（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得PN=PA，BN=AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值；過P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質，即可得到結論。