Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90。 ， AC<BC，D為AB的中點，DE交AC于點E，DF交BC于點F，且DE⊥DF，過點A作AG／／BC交FD的延長線于點G．

（1）求證：AG=BF；
（2）若AE=4，BF=8，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D是AB的中點，

∴AD=BD．

∵AG∥BC，

∴∠GAD=∠FBD．

∵∠ADG=∠BDF，

∴△ADG≌△BDF．

∴AG=BF．

（2）解：連接EG，

∵△ADG≌△BDF，

∴GD=FD．

∵DE⊥DF，

∴EG=EF．

∵AG∥BC，∠ACB=90°，

∴∠EAG=90°．

在Rt△EAG中，

∵EG2=AE2+AG2=AE2+BF2

∴EF2=AE2+BF2且AE=4，BF=8．

∴EF=4 ．

【解析】（1）根據中點的定義得出AD=BD ，根據平行線的性質得出∠GAD=∠FBD，根據對頂角相等得出∠ADG=∠BDF ，從而用ASA判斷出△ADG≌△BDF，根據全等三角形對應邊相等得出AG=BF ；
（2）連接EG，由三角形全等得出GD=FD ，根據中垂線的性質得出EG=EF ，根據二直線平行同旁內角互補得出∠EAG=90°．在Rt△EAG中，根據勾股定理及等量代換得出EF2=AE2+BF2 ，從而代指計算得出EF的長。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解線段的中點的相關知識，掌握線段的中點到兩端點的距離相等，以及對平行線的性質的理解，了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．