Question

【題目】如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥ 于點A，與⊙O相交于點P，OA＝5．C是直線上一點，連結CP并延長交⊙O于另一點B，且AB＝AC．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OB，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由OP=OB得∠OPB=∠OBP，由OA⊥得∠OAC=90°，則∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP，所以∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，于是根據切線的判定定理得到直線AB是⊙O的切線；

（2）根據勾股定理求得AB=4，PC=，過O作OD⊥PB于D，則PD=DB，通過證得△ODP∽△CAP，得到 求得PD，即可求得PB．

（1）證明：如圖，連結OB，則OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，

AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

而OA⊥，即∠OAC＝90°，

∴∠ACB+∠CPA＝90°，

即∠ABP+∠OBP＝90°，

∴∠ABO＝90°，

OB⊥AB，

故AB是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，

而OA＝5，OB＝OP＝3，

由勾股定理，得：AB＝4，

過O作OD⊥PB于D，則PD＝DB，

∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，

∴△ODP∽△CAP，

∴

又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，

∴

∴

∴