Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．

（1）出發2秒后，求線段PQ的長？

（2）當點Q在邊BC上運動時，出發幾秒鐘后，△PQB是等腰三角形？

（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間？

Answer 1

【答案】(1) ； （2）t=83；（3）當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形.

【解析】（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）設出發t秒后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）當點Q在CA上運動上，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：

①當CQ=BQ時（圖1）則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；

②當CQ=BC時（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；

③當BC=BQ時（圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求得BE、CE，即可得出t.

解：(1)BQ=2×2=4cm，BP=ABAP=82×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ=；

(2)BQ=2t，

BP=8t，

2t=8t，

解得：t=83；

(3)①當CQ=BQ時(圖1)，

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒.

②當CQ=BC時(如圖2)，

則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒

③當BC=BQ時(如圖3)，過B點作BE⊥AC于點E，

則BE=，

所以CE=BC2BE2，

故CQ=2CE=7.2，

所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，

△BCQ為等腰三角形.

“點睛”本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質，注意分類討論思想的應用.