Question

【題目】如圖，ABCD中，M、N是BD的三等分點，連接CM并延長交AB于點E，連接EN并延長交CD于點F，以下結論：
①E為AB的中點；
②FC=4DF；
③S△ECF= ；
④當CE⊥BD時，△DFN是等腰三角形．
其中一定正確的是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵M、N是BD的三等分點，

∴DN=NM=BM，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴△BEM∽△CDM，

∴ ，

∴BE= CD，

∴BE= AB，故①正確；

∵AB∥CD，

∴△DFN∽△BEN，

∴ = ，

∴DF= BE，

∴DF= AB= CD，

∴CF=3DF，故②錯誤；

∵BM=MN，CM=2EM，

∴S△BEM=S△EMN= S△CBE，

∵BE= CD，CF= CD，

∴ = ，

∴S△EFC= S△CBE= S△MNE，

∴S△ECF= ，故③正確；

∵BM=NM，EM⊥BD，

∴EB=EN，

∴∠ENB=∠EBN，

∵CD∥AB，

∴∠ABN=∠CDB，

∵∠DNF=∠BNE，

∴∠CDN=∠DNF，

∴△DFN是等腰三角形，故④正確；

所以答案是：①③④．

【考點精析】掌握平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．