Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一個動點（不與點A，B重合），D是弦AC上一點，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點C作半圓O的切線，交ED的延長線于點F．

（1）求證：FC＝FD．

（2）①當∠CAB的度數為　 　時，四邊形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中點，⊙O的半徑為5，AC＝8，則FC的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①45；② .

【解析】

(1)證明∠FDC＝∠FCD，即可求解；

(2)①當∠CAB＝45°時，∠COB＝90°，即可求解；

②連接OD，過點F作FM⊥CD，垂足為M，設∠FDC＝α，由D是弦AC的中點，則OD⊥AC，求出cosα＝，繼而根據FD＝即可求解．

(1)∵FC是圓的切線，

∴∠FCD+∠ACO＝90°，

∵FE⊥BA，∴∠ADC+∠CAO＝90°，

而∠CAO＝∠ACO，∠ADE＝∠FDC，

∴∠FDC＝∠FCD，

∴FC＝FD；

(2)①當∠CAB＝45°時，∠COB＝90°，

則四邊形OEFC是矩形，

故答案為:45；

②連接OD，過點F作FM⊥CD，垂足為M，

設∠FDC＝α，

∵ FD=FC，∴DM=CD，

∵D是弦AC的中點，

∴OD⊥AC，AD＝DC，

∴∠ADE+∠EDO=90°，

∵∠DEO=90°，

∴∠EDO+∠EOD=90°，

∴∠ADE＝∠AOD＝∠FDC＝α，

∵AD＝CD＝AC＝4，OA＝5，

∴DO＝=3，

∴cosα＝，

∴在△FDC中，FD＝＝，

∴FC=．