Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點，AE=1，M為射線AD上一動點，AM=a（a為大于0的常數(shù)），直線EM與直線CD交于點F，過點M作MG⊥EM，交直線BC于G．

（1）若M為邊AD中點，求證：△EFG是等腰三角形；

（2）若點G與點C重合，求線段MG的長；

（3）請用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S，并指出S的最小整數(shù)值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）S=+6，S的最小整數(shù)值為7

【解析】

（1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；

（2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM2=EC2-EM2，利用線段關系求出CM．再△MAE∽△CDM，求出a的值，再求出CM．

（3）①當點M在AD上時，②：①當點M在AD的延長線上時，作MN⊥BC，交BC于點N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的長度，然后用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S，指出S的最小整數(shù)值．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠MDF=90°，

∵M為邊AD中點，

∴MA=MD

在△MAE和△MDF中，

∴△MAE≌△MDF（ASA），

∴EM=FM，

又∵MG⊥EM，

∴EG=FG，

∴△EFG是等腰三角形；

（2）解：如圖1，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a

∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，

∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，

∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，

∵CM2=EC2﹣EM2，

∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，

∴CM=．

∵AB∥CD，

∴∠AEM=∠MFD，

又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AME=∠MCD，

∵∠MAE=∠CDM=90°，

∴△MAE∽△CDM，

∴，即，

解得a=1或3，

代入CM=,

得．

（3）解：：①當點M在AD上時，如圖2，作MN⊥BC，交BC于點N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a

∴，MD=AD﹣AM=4﹣a，

∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，

∴△MAE∽△MDF

∴，

∴，

∴，

∴，

∵AD∥BC，

∴∠MGN=∠DMG，

∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，

∴∠AME=∠DMG，

∴∠MGN=∠AME，

∵∠MNG=∠MAE=90°，

∴△MNG∽△MAE

∴，

∴，

∴，

∴，

即S=+6，

當a=，S有最小整數(shù)值，S=1+6=7．

②當點M在AD的延長線上時，如圖3，作MN⊥BC，交BC延長線于點N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a，

∴，MD=a-4，

∵DC∥AB，

∴△MAE∽△MDF

∴，

∴，

∴，

∴，

∵∠AME+∠EMN=90°，∠NMG+∠EMN=90°，

∴∠AME=∠NMG，

∵∠MNG=∠MAE=90°，

∴△MNG∽△MAE

∴，

∴，

∴，

∴

即S=+6，

當a＞4時，S沒有整數(shù)值．

綜上所述當a=時，S有最小整數(shù)值，S=1+6=7．