Question

【題目】問題情境:以直線AB上一點O為端點作射線OM、ON，將一個直角三角形的直角頂點放在O處(∠COD=90°).

(1)如圖1，直角三角板COD的邊OD放在射線OB上，OM平分∠AOC，ON和OB重合，則∠MON=_°；

(2)直角三角板COD繞點O旋轉到如圖2的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度數。

(3)直角三角板COD繞點O旋轉到如圖3的位置，OM平分∠ AOC ，ON平分∠BOD，猜想∠MON的度數，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）135；

（2）∠MON=135°

（3）猜想∠MON=135°，證明見解析.

【解析】

（1）先求出∠COM=45°，再利用∠MON=∠COM+∠CON即可求出；

（2）先求出∠AOC+∠BOD=90°，再根據OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，可知∠COM+∠DON=45°，再利用∠MON=∠COM+∠DON+∠COD即可求出；

（3）如圖延長NO至Q、DO至H，則∠DOH為平角，∠COH=90°，根據對頂角相等，知∠BOD=∠AOH，∠NOD=∠QOH，再根據∠COH=∠AOC-∠AOH=90°，又OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，得∠COM-∠QOH=45°，則∠MON=∠COD-∠NOD+∠COM=∠COD+∠COM-∠QOH=90°+45°=135°.

（1）∵∠AOC=90°，OM平分∠AOC，

∴∠COM=45°，

∴∠MON=∠COM+∠CON=45°+90°=135°；

（2）∵∠COD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠COM+∠DON=（∠AOC+∠BOD）=45°，

∴∠MON=∠COM+∠DON+∠COD=45°+90°=135°；

（3）猜想∠MON=135°，證明如下：

如圖延長NO至Q、DO至H，

則∠DOH為平角，∠COH=90°，

∴∠COH=∠AOC-∠AOH=90°，

又∵∠BOD=∠AOH，∠NOD=∠QOH，

OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠COM-∠QOH=45°，

則∠MON=∠COD-∠NOD+∠COM

=∠COD+∠COM-∠QOH

=90°+45°=135°.