Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分線相交于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，則EF的長為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

延長FE交AB于點D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可證四邊形BDEG是矩形，由角平分線可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，從而知四邊形BDEG是正方形，再證△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，設BD=BG=x，則AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再證△ADF∽△ABC可得DF=，據此得出EF=DF-DE=.

解：如圖，延長FE交AB于點D，作EG⊥BC于點G，作EH⊥AC于點H，

∵EF∥BC、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四邊形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四邊形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，

∵，

∴△DAE≌△HAE（AAS），
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG=CH，
設BD=BG=x，則AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，
∵AC=，

∴6-x+8-x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，

∴，即，

解得：DF=，

則EF=DF-DE=-2=，

故選C.