Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=4AD，E是AB上的一點，DE⊥EC．求證：CE平分∠BCD．

Answer 1

分析：通過證明Rt△AED∽Rt△BCE得到：

AD

BE

=

AE

BC

，則AD•BC=BE•AE．所以根據已知條件和圖形中相關線段間的和差關系得到AD•4AD=（4AD-AE）•AE，易求點E為AB的中點．
設DC的中點為F，連結EF，根梯形中位線定理可以得到EF∥BC且EF=FC．所以由等腰三角形的性質和平行線的性質得到∠4=∠6，∠4=∠5．故∠5=∠6，即CE平分∠BCD．

解答：證明：∵AD∥BC，AB⊥BC，DE⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠3=∠2，
∴Rt△AED∽Rt△BCE．
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∴AD•BC=BE•AE．
又∵AB=BC=4AD，
∴AE+BE=AB=BC=4AD，
∴AD•4AD=（4AD-AE）•AE，即（AE-2AD）²=0．
∴AE=2AD=

1

2

AB，即E為AB的中點．
設DC的中點為F，連結EF，則EF∥BC且EF=FC．
∴∠4=∠6，∠4=∠5．
∴∠5=∠6，即CE平分∠BCD．

點評：本題綜合考查了直角梯形，相似三角形的判定與性質．在求∠3=∠2時，也可以直接利用“同角的余角相等”得到該結論．