Question

【題目】我們已經知道，有一個內角是直角的三角形是直角三角形.其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角所對的邊叫斜邊（如圖①所示）.數學家已發現在一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方和等于斜邊長的平方.如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是和，斜邊長度是，那么可以用數學語言表達： ．

（1）在圖②，若， ，則 ；

（2）觀察圖②，利用面積與代數恒等式的關系，試說明的正確性.其中兩個相同的直角三角形邊AE、EB在一條直線上；

（3）如圖③所示，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的結論求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）12; (2)答案見解析;(3)5

【解析】試題分析：

（1）利用題中所給公式： ，代入即可解出的值；

（2）先用“梯形面積計算公式”計算出圖②的面積，再分別計算圖②中三個三角形的面積并相加得到圖②的面積，利用兩次所求面積相等得到等式，把等式變形即可得到公式： ；

（3）由矩形和折疊的性質可得：AF=AD=BC=10，DC=AB=8，EF=DE；在Rt△ABF中，由題中所給結論可計算出BF的長，從而可得FC的長；設EF= ，則DE= ，EC= ，這樣在Rt△EFC中，由題中所給結論可得關于的方程，解方程即可求得EF的長.

試題解析：

（1）∵，代入，

∴；

（2）∵圖①的面積＝＝，

圖①的面積＝S梯形ABCD＝＝，

∴＝，

∴ ,

即 .

（3）由四邊形ABCD是矩形和折疊的性質可得， ， ，EF=DE，

由題意可得：在Rt△ABF中， ，即，解得： ，

又∵，

∴，

設，則， ，

∵在Rt△ECF中， ，

∴，

解得 ，即.