Question

【題目】已知直線AB∥CD．

（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數量關系為　 　；

（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點F，則 =　 　．

Answer 1

【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3）

【解析】（1）根據平行線的性質和三角形外角定理即可解答.

（2）根據平行線的性質，三角形外角定理，角平分線的性質即可解答.

（3）根據平行線的性質和三角形外角定理即可解答.

（1）如圖1，∵AB∥CD，

∴∠END=∠EFB，

∵∠EFB是△MEF的外角，

∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，

（2）如圖2，∵AB∥CD，

∴∠CNP=∠NGB，

∵∠NPM是△GPM的外角，

∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，

∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，

∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，

∵AB∥CD，

∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，

∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，

∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，

即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，

∴∠E+2∠NPM=180°；

（3）如圖3，延長AB交DE于G，延長CD交BF于H，

∵AB∥CD，

∴∠CDG=∠AGE，

∵∠ABE是△BEG的外角，

∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①

∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，

∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，

∵∠CHB是△DFH的外角，

∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②

由①代入②，可得∠F=∠E，

即.