Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1，該拋物線與x軸的兩個交點分別為A和B，與y軸的交點為C，其中A（﹣1，0）．

（1）寫出B點的坐標_____；

（2）若拋物線上存在一點P，使得△POC的面積是△BOC的面積的2倍，求點P的坐標；

（3）點M是線段BC上一點，過點M作x軸的垂線交拋物線于點D，求線段MD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（3，0）

【解析】分析：（1）直接利用二次函數的對稱性得出B點坐標即可；

（2）利用三角形面積求法結合拋物線上點的坐標性質得出答案；

（3）結合題意得出MD的函數關系式，進而得出答案．

詳解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1，該拋物線與x軸的兩個交點分別為A和B，與y軸的交點為C，其中A（﹣1，0），

∴B點的坐標為：（3，0）；

故答案為：（3，0）；

（2）由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1，A（﹣1，0），B（3，0），

則，解得：，

故拋物線的表達式為y=x2﹣2x﹣3，

∴C（0，﹣3）．

∴．

∴S△POC=2S△BOC=9．

設點P的橫坐標為xP，求得xP=±6．

代入拋物線的表達式，求得點P的坐標為（6，21），（﹣6，45）．

（3）由點B（3，0），C（0，﹣3），得直線BC的表達式為y=x﹣3，

設點M（a，a﹣3），則點D（a，a2﹣2a﹣3）．

∴MD=a﹣3﹣（ a2﹣2a﹣3）

=﹣a2+3a

=，

∴當時，MD的最大值為．