Question

提出問題：
如圖，在△ABC中，∠A=90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，小亮發現△ABC與△AEG面積相等．小亮思考：這個問題中，如果∠A≠90°，那么△ABC與△AEG面積是否仍然相等？
猜想結論：
經過研究，小亮認為：上述問題中，對于任意△ABC，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，連接EG，那么△ABC與△AEG面積相等．
證明猜想：
（1）請你幫助小亮畫出圖形，并完成證明過程．已知：以△ABC的兩邊AB、AC為邊長分別向外作正方形ABDE、ACFG，連接GE．求證：S_△AEG=S_△ABC．
結論應用：
（2）學校教學樓前的一個六邊形花圃被分成七個部分，分別種上不同品種的花卉，其中四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，且面積分別為9m²、5m²和4m²．求這個六邊形花圃ABIHFE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）分為3種情況，當∠BAC=90°時，根據正方形的性質證明三角形全等就可以得出結論；當∠BAC＜90°時，過C作CM⊥AB，垂足為M，過G作GN⊥AE，與AE的延長線交于點N．同樣證明三角形全等可以得出結論；當∠BAC＞90°時，通過作輔助線BM⊥CG的延長線與M，EN⊥AG于N，通過證明△BMA≌△ENA同樣可以得出結論．
（2）先由條件根據勾股定的逆定理可以求出△DCG是直角三角形，可以求出△DCG的面積，根據（1）的結論就可以知道△ADE、△FGH△、△CBI均與△DCG的面積相等，從而就可以求出六邊形的面積．
解答：（1）證明：①如圖（1），當∠BAC=90°時，
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AG=AC，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAC=∠EAG=90°，
∵在△BAC和△EAG中
，
∴△BAC≌△EAG（SAS），
∴S_△AEG=S_△ABC．   
②如圖（2），當∠BAC＜90°時，過C作CM⊥AB，垂足為M，
過G作GN⊥AE，與AE的延長線交于點N．
∴∠AMC=∠ANG=90°
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AG=AC，∠BAE=∠CAG=90°，
∵∠GAN+∠NAC=∠GAC=90°，∠MAC+∠NAC=∠MAN=90°，
∴∠GAN=∠MAC．
∵在△GAN和△CAM中，
，
∴△AMC≌△ANG（AAS），
∴GN=CM．
∵S_△AEG=AE•GN，S_△ABC=AB•CM，
∴S_△AEG=S_△ABC．
③如圖（3），當∠BAC＞90°時，BM⊥CG的延長線與M，EN⊥AG于N，
∴∠AMB=∠ANE=90°，
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AG=AC，∠BAE=∠CAG=∠GAM=90°，
∴∠BAM=∠EAN．
∵在△BAM和△EAN中，
，
∴△BAM≌△EAN（AAS），
∴BM=EN．
∵S_△AEG=AG•EN，S_△ABC=AC•BM，
∴S_△AEG=S_△ABC．

（2）解：∵正方形ABCD、CIHG、GFED的面積分別為9m²、5m²和4m²，
∴DC²=9m²，CG²=5m²，DG²=4m²．
∴DC²=CG²+DG²，
∴△DCG是直角三角形，
∴∠DGC=90°．
∴S_△DCG=•DG•CG=×2×=m．
∵四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，根據上面結論可得：
△ADE、△FGH△、△CBI均與△DCG的面積相等，
∴六邊形ABIHFE的面積為9+5+4+4×=（18+4） m²．
點評：本題考查了直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理及勾股定理的逆定理的運用，三角形面積公式的運用及正方形的性質的運用，解答時通過作輔助線證明三角形全等是關鍵．