Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線y=﹣x﹣1與x軸，y軸的交點分別為A、B，以x=﹣1為對稱軸的拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點A、C，直線x=﹣1與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在線段AB上是否存在一點P，使以A，D，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）若點Q在第三象限內，且tan∠AQD=2，線段CQ是否存在最小值，如果存在直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）存在；點P坐標為（﹣1，）或（-，-）；

（3）存在，CQ最小值為.

【解析】

（1）根據直線y=﹣x﹣1易求得A點坐標，由拋物線的對稱性可求得C點坐標，然后寫出拋物線的交點式即可；

（2）根據題意可設點P的坐標為（a，﹣a﹣1），分△AOB∽△APD和△AOB∽△APD兩種情況，第一種情況直接根據相似三角形對應邊成比例即可求得結果，第二種情況先過點P作PE⊥x軸于點E，則△APE∽△PED，再根據相似三角形對應邊成比例即可求得結果；

（3）如圖，取點F（﹣1，﹣1），過點ADF作圓，則點E（﹣2，﹣）為圓心，因為tan∠AFD=2，

則連CE交⊙E于點Q，則CQ為滿足條件的最小值，再根據兩點之間的距離公式求得CE的長，然后減去圓的半徑即可得解.

（1）∵直線y=﹣x﹣1與x軸交于A點，

∴點A坐標為（﹣3，0），

又∵直線x=﹣1為對稱軸，

∴點C坐標為（1，0），

∴拋物線解析式為：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；

（2）存在；

由已知，點D坐標為（﹣1，0），點B坐標為（0，﹣1），

設點P的坐標為（a，﹣a﹣1），

①當△AOB∽△ADP時，

，即，

解得：a=﹣1；

點P坐標為（﹣1，）；

②當△AOB∽△APD時，

過點P作PE⊥x軸于點E，

則△APE∽△PED，

∴PE2=AEED，

∴（﹣a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），

解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣，

∴點P坐標為（﹣，﹣）；

（3）存在，CQ最小值為；

如圖，取點F（﹣1，﹣1），過點ADF作圓，則點E（﹣2，﹣）為圓心，

∵tan∠AFD=2，

∴弧AFD（A、D除外）上的點都是滿足條件的Q點，

則連CE交⊙E于點Q，則CQ為滿足條件的最小值，

此時CE=，

∵⊙E半徑為，

∴CQ最小值為.