Question

（本題滿分12分）

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A-C-B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．

（1）當時，求線段的長；

（2）當0＜t＜2時，如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；

（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R．請探究是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）或

（3）

解析:解：（1）過點C作于F，則四邊形AFCD為矩形．

∴，．

此時，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分

∴．

即，∴．……3分

（2）∵為銳角，故有兩種情況：

①當時，點P與點E重合．

此時，即，∴．……5分

②當時，如備用圖1，

此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴．

由（1）知，，

而，

∴．   ∴．

綜上所述，或．……8分（說明：未綜述，不扣分）

（3）為定值．……9分

當＞2時，如備用圖2，

．

由（1）得，．

∴．                    ∴．

∴．            ∴．

∴四邊形AMQP為矩形．     ∴∥．……11分

∴△CRQ∽△CAB．

∴．……12分