Question

【題目】如圖1，AB為半圓O的直徑，D為BA的延長線上一點，DC為半圓O的切線，切點為C．

（1）求證：∠ACD=∠B；

（2）如圖2，∠BDC的平分線分別交AC，BC于點E，F；

①求tan∠CFE的值；

②若AC=3，BC=4，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據切線的性質、直徑所對的圓周角是直角及等角的余角相等即可證明結論．

（2）①由∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，即可得∠CEF=∠CF，再由∠ECF=90°，可得∠CEF=∠CFE=45°，即可得結論．

②由勾股定理可求得AB=5，根據已知易證△DCA∽△DBC，得，設DC=3k，DB=4k，由CD2=DADB，得9k2=（4k﹣5）4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得，設EC=CF=x，列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）證明：如圖1中，連接OC．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∵CD是⊙O切線，

∴OC⊥CD，

∴∠DCO=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∵AB是直徑，

∴∠1+∠B=90°，

∴∠3=∠B．

（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，

∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，

∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，

∴∠CEF=∠CFE=45°，

∴tan∠CFE=tan45°=1．

②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，

由勾股定理得AB=5，

∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，

∴△DCA∽△DBC，

∴，設DC=3k，DB=4k，

∵CD2=DADB，

∴9k2=（4k﹣5）4k，

∴k=，

∴CD=，DB=，

∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，

∴△DCE∽△DBF，

∴，設EC=CF=x，

∴，

∴x=．

∴CE=．